Autour de la décomposition de Dunford: Théorie spectrale et méthodes effectives

Téléchargez votre livre dans différents formats:

Leçons d'algèbre linéaire sur la réduction des endomorphismes avec une présentation assez exhaustive de la décomposition de Dunford. Nous nous limiterons au cas où le corps de base est R ou C, et l'objectif de cette présentation est de faire un inventaire sur les différentes méthodes de décomposition de Dunford. Lorsque les valeurs elles-mêmes sont connues avec leurs valeurs exactes, une décomposition dans des éléments simples de l'opposé d'un polynôme d'annulation nous fournit des projecteurs spectraux et un fortiori la décomposition attendue. Le cas le plus délicat est présenté dès que le spectre de l'endomorphisme n'est pas à notre disposition, ce qui est une situation commune lorsque la dimension de l'espace vectoriel est supérieure à 4. La méthode de Newton-Raphson vient alors à Le sauvetage pour nous fournir une suite qui converge quadratiquement vers le composant diagonalisable. Il est vrai que cette méthode très à la mode est assez efficace, quelle que soit la taille de la matrice étudiée, mais nous laisse faim. En fait, nous savons que les composants de Dunford sont des polynômes dans la matrice et nous aimerions connaître ces polynômes générateurs. La bonne nouvelle est qu'il existe une méthode efficace qui utilise la devise chinoise et a été introduite par Chevalley dans les années 50 du siècle dernier. Je me concentrerai sur cette méthode qui a été mentionnée dans un article de Danielle Couth, Jean Esterle et Rachid Zarouf, détaillant le test de l'algorithme dans le cas où le polynôme caractéristique est divisé en corps de base, puis je le détaillerai. Le vrai cas, qui est une situation plus subtile qui nécessite une étude plus approfondie. Un rappel a été introduit sur les endomorphismes semi-consumares pour justifier l'importance de la recherche d'une méthode efficace qui permet de tester la diagonalisme des matrices réelles lorsque nous n'avons pas les valeurs de l'endomorphisme étudiées. Pour y parvenir, j'ai proposé les suites de Sturm comme un outil de vérification de la diagonalisme dans R.

Téléchargez votre livre dans différents formats: